PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2012
Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)
a/ Cho P = 30(319 + 318 + 317 + ……. + 312+ 32) + 1. Chứng minh rằng P là số chính phương?
b/ Chứng minh rằng nếu m là số nguyên lẻ thì:
(m3 + 3m2 – m – 3)
48
Bài 2 (4 điểm): Cho các biểu thức:
A =  + 
B =
( với x > 0)
a) Rút gọn A; B.
b) Tìm x để B = 2.

Bài 3 (4 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
C =

Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh: AB.HC = AC.AH
Chứng minh AE = AB.
Gọi M là trung điểm của BE. Tính

Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Điểm M thuộc AH. Các điểm E, F tương ứng thuộc AB, AC sao cho
. Chứng minh rằng EF // BC.

----------------- HẾT-------------------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.


PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 12-13
Môn: TOÁN

Bài 1: (4 điểm)
a) Đặt a = 31 => 30 = a – 1 và 32 = a + 1. ( 0,5 đ)
Ta có P = (a – 1)( a9 + a8 + a7 + ……+ a2 + a + 1) + 1 ( 0,5 đ)
= a10 – 1 +1 = a10 = (a5)2 ( 0,5 đ)
P = (315)2 ( 0,25 đ)
Vậy P là số chính phương. ( 0,25 đ)
b) C/m
m3 + 3m2 – m – 3 = m2(m + 3) – (m + 3) (0,25đ)
= (m + 3)(m2– 1) = (m + 3)(m – 1)(m + 1) (0,25đ)
m = 2k + 1 => m3 + 3m2 – m – 3 = (2k + 1 + 3)( 2k + 1 – 1)( 2k + 1 + 1) (0,25đ)
= 2k (2k + 4)( 2k + 2) (0,25đ)
= 8k(k + 1)(k + 2) (0,25đ)
Ta có: k(k + 1)
2 ; k(k + 1)(k + 2)
3 Vì (2,3) = 1 nên k(k + 1)(k + 2)
6 (0,25đ)
=> 8k(k + 1)(k + 2)
48 (0,25đ)
Hay (m3 + 3m2 – m – 3)
48 (0,25đ)
Bài 2 (5 điểm)
a)Rút gọn
A =  +  (0,5 đ)
=  (0,25)
=  (0,25)
B =
( với x > 0)
=
(0,5đ)
=
(0,5đ)
=
(0,5đ)
=
(0,5đ)
b) Tìm x để B = 2. B = 2 <=>
- 2 = 0 (0,25đ)
<=>
= 0 (0,5đ)
<=>
= 0 (0,5đ)
<=>
= 0 (0,25đ)
<=>
= 0 ( vì
) (0,25đ